Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=6，a_n+1=a_n²+4a_n+2，（n∈N^*）
（Ⅰ）設(shè)C_n=log₂（a_n+2），求證：{C_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=

1

an-2

-

1

a 2 n +4an

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

7

30

≤T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）把給出的數(shù)列遞推式變形得到an+1+2=(an+2)2，兩邊取以2 為底數(shù)的對數(shù)證得答案；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中等比數(shù)列{C_n}的通項公式，代回C_n=log₂（a_n+2）可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）把b_n=

1

an-2

-

1

a 2 n +4an

化為bn=

1

an-2

-

1

an+1-2

，求和后代入首項和a_n+1即可證得答案．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n+1=a

2 n

+4a_n+2，得an+1+2=(an+2)2，
∴l(xiāng)og₂（a_n+1+2）=2log₂（a_n+2），
∵C_n=log₂（a_n+2），
即C_n+1=2C_n，
∴數(shù)列{C_n}是以2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵a₁=6，
∴C₁=log₂（a₁+2）=log₂8=3，
則Cn=3•2n-1，即an+2=23•2n-1，
∴an=23•2n-1-2；
（Ⅲ）證明：把an=23•2n-1-2代入b_n=

1

an-2

-

1

a 2 n +4an

，
得：bn=

1

an-2

-

1

an+1-2

，
則Tn=(

1

a1-2

-

1

a2-2

)+(

1

a2-2

-

1

a3-2

)+…+(

1

an-2

-

1

an+1-2

)
=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

4

-

1

23•2n-4

．
∴

7

30

≤Tn＜

1

4

．

點評：本題是數(shù)列與不等式綜合題，考查由遞推式確定等比關(guān)系，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了由放縮法證明不等式，屬中高檔題．