Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且b_n是

n

an

與

n

an+2

的等比中項(xiàng)，求b_n的前n項(xiàng)和為T_n；若對任意n∈N^*，都有T_n＞log_m2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式S_n-S_n-1=a_n（n≥2），求通項(xiàng)公式即可；
（2）利用錯位相減法得Tn=

3

8

-

2n+3

8×3n

，對任意n∈N^*，都有T_n＞log_m2，等價(jià)于（T_n）_min＞log_m2，解不等式即得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，故

an+1

an

=3(n≥2)，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，此時(shí)

a2

a1

=3，
故當(dāng)n≥1時(shí)，

an+1

an

=3，則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an=2×3n-1…（6分）
（Ⅱ）bn=

n an × n an+2

=

n 2×3n-1 × n 2×3n+1

=

n

2×3n

…（8分）
所以Tn=

1

2

(

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

)．
則2Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

．①，則

2

3

Tn=

1

32

+

2

33

+

3

34

+…+

n

3n+1

．②
則①-②得：

4

3

Tn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

n

3n+1

=

1

2

-

2n+3

2×3n+1

．
所以Tn=

3

8

-

2n+3

8×3n

，由于T_n單調(diào)遞增，則T_n的最小值為T1=

1

6

，
由logm2＜

1

6

，得

0＜m＜1 2＞m 1 6

或者

m＞1 2＜m 1 6

，解得0＜m＜1或者m＞64…（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用公式法求數(shù)列通項(xiàng)公式及利用錯位相減法求數(shù)列的和，考查恒成立問題的等價(jià)劃歸思想的運(yùn)用能力，屬難題．