【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形
是長(zhǎng)方形,
,
,
,
,連接EF.
證明:平面
平面
;
若
,
,
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)先證明平面
,從而證得
平面
,從而可得
是平面
與平面
所成二面角的平面角.再利用平行四邊形
為菱形即可證得平面
與平面
所成二面角的平面角為直角,問(wèn)題得證。
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面與平面
的法向量坐標(biāo),利用向量夾角坐標(biāo)公式即可求得其余弦值,問(wèn)題得解。
證明:在三棱柱
中,
,
,
又在長(zhǎng)方形
中,
,
,
平面
B.
四邊形
與四邊形
均是平行四邊形,
且,
,連接EF,
.
又,
,
又平面
,
平面
B.
又,
均在平面
內(nèi),
,
B.
又平面平面
,
平面
,
平面
.
由二面角的平面角的定義知,
是平面
與平面
所成二面角的平面角.
又在平行四邊形中,
,
平行四邊形
為菱形,
由菱形的性質(zhì)可得,,
,
平面
平面
;
解:由
及題設(shè)可知,四邊形
是菱形,
,
,
在
中,由余弦定理可得
.
又由知,EB,EA,EF兩兩互相垂直,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
0,
,
0,
,
,
,
0,
.
,
,
,
.
設(shè)平面的法向量為
,平面
的一個(gè)法向量為
.
由,取
,得
;
由,取
,得
.
.
設(shè)二面角的大小為
,
則.
二面角
的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若曲線上存在唯一的點(diǎn)
,使得曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓
相交于
兩點(diǎn).
(1)若橢圓的離心率為,焦距為2,求線段
的長(zhǎng);
(2)若向量與向量
互相垂直(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率
時(shí),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,上頂點(diǎn)為
,過(guò)點(diǎn)
與
垂直的直線交
軸負(fù)半軸于點(diǎn)
,且
恰是
的中點(diǎn),若過(guò)
三點(diǎn)的圓恰好與直線
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓
交于
兩點(diǎn),在
軸上是否存在點(diǎn)
,使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出
的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn)點(diǎn)N在線段AD上.
(1)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時(shí),求證:直線PA∥面BMN;
(2)若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交
軸與點(diǎn)
,交
于點(diǎn)
(
在第一象限),且
是線段
的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)
作
軸的垂線交
于另一點(diǎn)
,延長(zhǎng)
交
于點(diǎn)
.
(ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為
,證明
為定值;
(ⅱ)求直線的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,
,
,
,
,
,點(diǎn)
為
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若平面
平面
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點(diǎn)M為棱A1B1的中點(diǎn).
求證:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面C1CM⊥平面A1B1C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:
(
)的離心率為
,橢圓
與
軸交于
兩點(diǎn),且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)
在
軸的右側(cè),直線
與直線
交于
兩點(diǎn),若以
為直徑的圓與
軸交于
,求點(diǎn)
橫坐標(biāo)的取值范圍及
的最大值.
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