Question

【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形是長(zhǎng)方形，，，，，連接EF．

證明：平面平面；

若，，，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先證明平面，從而證得平面，從而可得是平面與平面所成二面角的平面角．再利用平行四邊形為菱形即可證得平面與平面所成二面角的平面角為直角，問(wèn)題得證。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量坐標(biāo)，利用向量夾角坐標(biāo)公式即可求得其余弦值，問(wèn)題得解。

證明：在三棱柱中，，，

又在長(zhǎng)方形中，，，

平面B.

四邊形與四邊形均是平行四邊形，

且，，連接EF，

．

又，，

又平面，平面B.

又，均在平面內(nèi)，

，B.

又平面平面，平面，平面．

由二面角的平面角的定義知，是平面與平面所成二面角的平面角．

又在平行四邊形中，，平行四邊形為菱形，

由菱形的性質(zhì)可得，，，

平面平面；

解：由及題設(shè)可知，四邊形是菱形，，，

在中，由余弦定理可得．

又由知，EB，EA，EF兩兩互相垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

0，，0，，，，0，．

，，，．

設(shè)平面的法向量為，平面的一個(gè)法向量為．

由，取，得；

由，取，得．

．

設(shè)二面角的大小為，

則．

二面角的正弦值為．