Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且恰是的中點(diǎn)，若過(guò)三點(diǎn)的圓恰好與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題（1）從已知條件中尋找三者之間的關(guān)系，過(guò)三點(diǎn)在同一圓上，又，可以得到圓心為，從而得到，再由直線與圓相切可得，最后再利用求出即可；（2）以為鄰邊的平行四邊形是菱形，可得菱形的對(duì)角線互相垂直，為的中點(diǎn)，則，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用條件可求出的值.

試題解析：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，

由為線段中點(diǎn)，，

所以三點(diǎn)圓的圓心為，半徑為，

又因?yàn)樵搱A與直線相切，所以.

所以，故所求橢圓方程為；

（2）將直線代入得.

設(shè)，則.

∴，

∴的中點(diǎn)，

由于菱形對(duì)角線互相垂直，則.

∴，解得.

即存在滿足題意的點(diǎn)，且m的值為.