Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù) 的單調性；

（2）若曲線上存在唯一的點，使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(2) 曲線在點處的切線方程和聯(lián)立可得：，設,通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，確定的范圍即可.

（1），設

①當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在單調遞減；

② 當時，(當且僅當時)，所以在上單調遞增；

③ 當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在單調遞減；

④當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）曲線在點處的切線方程為，切線方程和聯(lián)立可得：，現(xiàn)討論該方程根的個數(shù)：

設， 所以.

，設，則.

①當時，，所以在上單調遞減，

又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

又，所以只有唯一的零點，由的任意性，所以不符合題意；

② 當時，在上小于零，在上大于零，所以在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上小于或等于零，且有唯一的零點.

函數(shù)開口向上，若其判別式不大于零，

則對任意，有；若其判別式大于零，設其右側的零點為，則對任意的，有，所以在區(qū)間上，存在零點，綜上的零點不唯一；

當時，可得，所以在上單調遞增，所以其只有唯一的零點；

當時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上大于或等于零，且有唯一的零點.

函數(shù)在區(qū)間上一定存在最大值，設為，若，則在上小于零.若，當時，，所以在區(qū)間上，存在零點，綜上的零點不唯一.

綜上，當 時，曲線上存在唯一的點，使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點.