Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點點N在線段AD上.

（1）點N為線段AD的中點時，求證：直線PA∥面BMN；

（2）若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1)連結(jié)點，，交于點，連結(jié)，推導出四邊形為正方形，由此能證明直線平面；（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，由此能求出二面角C-BM-N所成角的余弦值.

證明：（1）連結(jié)點AC，BN，交于點E，連結(jié)ME，

∵點N為線段AD的中點，AD＝4，

∴AN＝2，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，

∴四邊形ABCN為正方形，∴E為AC的中點，

∴ME∥PA，

∵PA平面BMN，∴直線PA∥平面BMN.

（2）∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，

∵∠BAD＝90°，∴PA，AB，AD兩兩互相垂直，

分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則由AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，得：

B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），

∵M為PC的中點，∴M（1，1，2），

設AN＝λ，則N（0，λ，0），（0≤λ≤4），則＝（﹣1，λ﹣1，﹣2），

＝（0，2，0），＝（2，0，﹣4），

設平面PBC的法向量為＝（x，y，z），

∵直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，＝＝.

解得λ＝1，則N（0，1，0），＝（﹣2，1，0），＝（﹣1，1，2），

設平面BMN的法向量＝（x，y，z），

＝﹣x+y+2z＝0，＝﹣2x+y＝0，

令x＝2，得＝（2，4，﹣1），

cos＝

∴二面角C-BM-N所成角的余弦值為.