Question

11．閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)；
小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決．

（1）請(qǐng)你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于150°．（直接寫(xiě)答案）
參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：
如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2$\sqrt{2}$，PB=1，PD=$\sqrt{17}$．
（2）求∠APB的度數(shù)；
（3）求正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，證出△APP′是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再由勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，求出∠AP′C，即為∠APB的度數(shù)；
（2）把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，證出△APP′是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即為∠APB的度數(shù)；
（3）求出點(diǎn)P′、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PP′于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE=PE=$\frac{1}{2}$PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB即可．

解答 解：（1）如圖2，把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′²+P′C²=3²+4²=25，PC²=5²=25，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；
故答案為：150°．
（2）如圖3，把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=2$\sqrt{2}$，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PA=4，∠AP′P=45°，
∵PP′²+P′D²=4²+1²=17，PD²=（$\sqrt{17}$^）2=17，
∴PP′²+P′D²=PD²，
∴∠PP′D=90°，
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，
故∠APB=∠AP′D=135°，
（3）∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，
∴點(diǎn)P′、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PP′于E，
則AE=PE=$\frac{1}{2}$PP′=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴BE=PE+PB=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，求正方形的邊長(zhǎng)有一定的難度，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．