Question

6．已知a，b，c都是有理數(shù)，$\sqrt{a}$$+\sqrt$$+\sqrt{c}$也是有理數(shù)，求證：$\sqrt{a}$，$\sqrt$，$\sqrt{c}$都是有理數(shù)．

Answer 1

分析 利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合正無理數(shù)與正無理數(shù)的和是無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)的和是無理數(shù)，進而得出答案．

解答 證明：∵a，b，c，是有理數(shù)，且$\sqrt{a}$$+\sqrt$$+\sqrt{c}$也是有理數(shù)，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴$\sqrt{a}$，$\sqrt$，$\sqrt{c}$可能是有理數(shù)也可能是無理數(shù)，
∵正無理數(shù)與正無理數(shù)的和是無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)的和是無理數(shù)，
∴必須是三個都是有理數(shù)才會是和為有理數(shù)，
∴$\sqrt{a}$，$\sqrt$，$\sqrt{c}$都是有理數(shù)．

點評 此題主要考查了有理數(shù)無理數(shù)的運算，正確掌握實數(shù)運算規(guī)律是解題關(guān)鍵．