Question

如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G．

（1）求證：BF=AE+FG；

（2）若AB=2，求四邊形ABFG的面積．

 

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）四邊形ABFG的面積是

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，由已知條件和菱形的性質(zhì)可以證明△ABO≌△DAE和△AOF≌△AGF，由全等三角形的性質(zhì)即可證明BF=AE+FG；

（2）首先求出△ABD的面積是，再求出RT△DFG的面積是，進(jìn)而可求出四邊形ABFG的面積是．

試題解析：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，∠4=∠ABC，∠2=∠ADC，AC⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴∠2=∠4=∠ABC=30°，

又∵AE⊥CD于點(diǎn)E，

∴∠AED=90°，

∴∠1=30°，

∴∠1=∠4，∠AOB=∠DEA=90°，

∴△ABO≌△DAE，

∴AE=BO．

又∵FG⊥AD于點(diǎn)G，

∴∠AOF=∠AGF=90°，

又∵∠1=∠3，AF=AF，

∴△AOF≌△AGF，

∴FG=FO．

∴BF=AE+FG．

（2）【解析】
∵∠1=∠2=30°，

∴AF=DF．

又∵FG⊥AD于點(diǎn)G，

∴AG=AD，

∵AB=2，

∴AD=2，AG=1．

∴DG=1，AO=1，F(xiàn)G=，BD=2，

∴△ABD的面積是，RT△DFG的面積是

∴四邊形ABFG的面積是．

考點(diǎn)：1.菱形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)