Question

如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點(diǎn)B、D恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CM、AN，

（1）求證：△ADN≌△CBM；

（2）請(qǐng)連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形；四邊形MFNE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn)，連接PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的長(zhǎng)度．

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）是平行四邊形，不是菱形，理由見(jiàn)解析；（3）2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，從而根據(jù)AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，從而即可判斷出△ADN≌△CBM．

（2）連接NE、MF，根據(jù)（1）的結(jié)論可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE為斜邊，NF為直角邊，可判斷四邊形MFNE不是菱形．

（3）設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，EF=x，作QG⊥PC于G點(diǎn)，首先求出AC=5，根據(jù)翻折變換知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCF•CF，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2，求出NO的長(zhǎng)，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2

試題解析：（1）證明：由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM，

在Rt△ADN和Rt△CBM中，

∵，

∴△ADN≌△CBM，

（2）【解析】
連接NE、MF，

∵△ADN≌△CBM，

∴NF=ME，

∵∠NFE=∠MEF，

∴NF∥ME，

∴四邊形MFNE是平行四邊形，

∵M(jìn)N與EF不垂直，

∴四邊形MFNE不是菱形；

（3）【解析】
設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，EF=x，作QG⊥PC于G點(diǎn)，

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵AF=CE=BC=3，

∴2AF-EF=AC，即6-x=5，

解得x=1，

∴EF=1，

∴CF=2，

在Rt△CFN中，tan∠DCA=，

解得NF=，

∵OE=OF=EF=，

∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，

∴ON=，

∴MN=2ON=，

∵PQ∥MN，PN∥MQ，

∴四邊形MQPN是平行四邊形，

∴MN=PQ=，

∵PQ=CQ，

∴△PQC是等腰三角形，

∴PG=CG，

在Rt△QPG中，

PG2=PQ2-QG2，即PG==1，

∴PC=2PG=2．

考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問(wèn)題）；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.平行四邊形的判定；4.菱形的判定．