Question

12．把四塊長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形木板圍成如圖所示的正方形，請(qǐng)解答下列問題：
（1）按要求用含、的兩種方式表示空心部分的正方形的面積S（結(jié)果不要化簡(jiǎn)保留原式）：
①用大正方形面積減去四塊木板的面積表示：S=（a+b）²-4ab；
②直接用空心部分的正方形邊長(zhǎng)的平方表示：S=（a-b）²；
（2）由①、②可得等式（a+b）²-4ab=（a-b）²；
（3）試證明（2）中的等式成立．

Answer 1

分析 （1）①觀察圖形，可得圖中大正方形的邊長(zhǎng)為a+b，每一塊長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)為a，寬為b，根據(jù)正方形的面積=邊長(zhǎng)²，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬即可求解；
②觀察圖形，可得圖中空心部分的正方形邊長(zhǎng)為a-b，根據(jù)正方形的面積=邊長(zhǎng)²即可求解；
（2）根據(jù)空心部分的正方形的面積不變即可得到等式；
（3）利用完全平方公式證明即可．

解答 解：（1）①用大正方形面積減去四塊木板的面積表示：S=（a+b）²-4ab．
故答案為（a+b）²-4ab；
②直接用空心部分的正方形邊長(zhǎng)的平方表示：S=（a-b）²．
故答案為（a-b）²；

（2）由①、②可得等式（a+b）²-4ab=（a-b）²．
故答案為（a+b）²-4ab=（a-b）²；

（3）∵左邊=（a+b）²-4ab=a²+2ab+b²-4ab=a²-2ab+b²，
右邊=（a-b）²=a²-2ab+b²，
∴左邊=右邊，
∴等式成立．

點(diǎn)評(píng) 此題考查完全平方公式的幾何背景，利用面積、邊的關(guān)系建立等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．