Question

10．閱讀理解：
兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，我們稱這兩個三角形是共角三角形，這個角稱為對應(yīng)角．
（1）根據(jù)上述定義，判斷下列結(jié)論，正確的打“√”，錯誤的打“×”．
①三角形一條中線分成的兩個三角形是共角三角形．對
②兩個等腰三角形是共角三角形．錯
【探究】
（2）如圖，在△ABC與△DEF中，設(shè)∠ABC=α，∠DEF=β
①當(dāng)α=β=90°  時，顯然可知：$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=$\frac{AB•BC}{DE•EF}$
②當(dāng)α=β≠90°時，亦可容易證明：$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=$\frac{AB•BC}{DE•EF}$
③如圖2，當(dāng)α+β=180°（α≠β）時，上述的結(jié)論是否還能成立，若成立，請證明；若不成立，請舉反例說明．
【應(yīng)用】
（3）如圖3，⊙O中的弦AB、CD所對的圓心角分別是72°、108°，記△OAB與△OCD的面積分別為S₁，S₂，請寫出S₁與S₂滿足的數(shù)量關(guān)系S₁=S₂．
（4）如圖4，?ABCD的面積為2，延長□ABCD的各邊，使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，則四邊形EFGH的面積為25．

Answer 1

分析 （1）①②根據(jù)共角三角形的定義，可得答案；
（2）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，可得：∠ABM=∠E，根據(jù)相似三角形的判定，可得△ABM∽△DEN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)邊的比相等，可得證明的結(jié)論；
（3）根據(jù)共角三角形面積的關(guān)系，可得答案；
（4）根據(jù)共角三角形面積的關(guān)系，可得共角三角形的面積，根據(jù)面積的和差，可得答案．．

解答 解：（1）根據(jù)共角三角形的定義可知①對  ②錯；
故答案為對，錯．

（2）③證明：如圖2中，過A作AM⊥BC交BC的延長線于點M、過D作DN⊥EF于點N，

∴∠AMB=∠DNE=90°
又∵∠ABM+α=β+α=180°
∴∠ABM=β
即：∠ABM=∠E
∴△ABM∽△DEN
∴$\frac{AM}{DN}$=$\frac{AB}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•BC}{\frac{1}{2}DN•EF}$=$\frac{AM}{DN}$•$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AB}{DE}$•$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AB•BC}{DE•EF}$；

（3）如圖3中，

∵△OAB與△OCD是共角三角形，OA=OB=OC=OD，
∴$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{OA•OB}{OC•OD}$=1，
∴S₁=S₂；
故答案為：S₁=S₂．

（4）如圖4中，連接AC、BD．

四邊形ABCD的面積為2，
S_△ABC=S_△ADC=S_△BAD=S_△BCD=1，
使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，
由共角三角形的面積比等于對應(yīng)角兩邊的乘積之比得
$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{BE•EF}{AB•BC}$=$\frac{AB•3BC}{AB•BC}$=3，S_△BEF=3，
$\frac{{S}_{△GCF}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{CG•CF}{CB•CD}$=$\frac{3CD•2BC}{CD•BC}$=6，S_△GCF=6，
$\frac{{S}_{△HDG}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{DG•DH}{DA•DC}$=$\frac{2CD•4DA}{CD•DA}$=8，S_△DGH=8，
$\frac{{S}_{△AHE}}{{S}_{△ADB}}$=$\frac{AH•AE}{AD•AB}$ $\frac{3AD•2AB}{AD•AB}$═6，S_△AHE=6，
S_EFGH=S_△BEF+S_△GCF+S_△DGH+S_△AHE+S_ABCD
=3+6+8+6+2=25，
 故答案為25．

點評 本題考查了圓的綜合題，共角三角形的面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．