Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)t秒（0＜t＜5）后，四邊形ABQP的面積為S平方米．

（1）求面積S與時(shí)間t的關(guān)系式；
（2）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的位置； 若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，AP=2t，CQ=t，則PC=10-2t，又PE∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式即可得出PE的長(zhǎng)，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，再判斷出方程根的情況即可；
（3）有三種情況：①PC=QC，②PQ=QC，③PQ=PC，代入得出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E．

Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（米），
由題意知：AP=2t，CQ=t，則PC=10-2t
由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB
∴$\frac{PE}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$，
即：$\frac{PE}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴PE=$\frac{3}{5}$（10-2t）=-$\frac{6}{5}$t+6，
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴S=S_△ABC-S_△PCQ=24-$\frac{1}{2}$•t•（-$\frac{6}{5}$t+6）=$\frac{3}{5}$t²-3t+22，
即：S=$\frac{3}{5}$t²-3t+24．

（2）假設(shè)四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則有：$\frac{3}{5}$t²-3t+24=12
即：t²-5t+20=0
∵b²-4ac=（-5）2-4×1×20＜0
∴方程無(wú)實(shí)根
∴在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．

（3）（2）解：①當(dāng)PC=QC時(shí)，有t=10-2t，t=$\frac{10}{3}$，
②當(dāng)PQ=QC時(shí)，有 $\frac{\frac{1}{2}（10-2t）}{t}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{25}{9}$ （秒），
③當(dāng)PQ=PC時(shí)，有 $\frac{\frac{1}{2}t}{10-2t}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{80}{21}$（秒），
所以，當(dāng)t為 $\frac{10}{3}$秒、$\frac{25}{9}$秒、$\frac{80}{21}$秒時(shí)，△PQC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．