Question

18．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB．
（1）△APP′的形狀是等邊三角形；
（2）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，則可判斷△APP′為等邊三角形；
（2）由△APP′為等邊三角形得到PP′=AP=6，∠APP′=60°，再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得P′B=PC=10，則可根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，所以∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°．

解答 解：（1）∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，
∴△APP′為等邊三角形；
故答案為等邊三角形；
（2）∵△APP′為等邊三角形，
∴PP′=AP=6，∠APP′=60°，
∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB，
∴P′B=PC=10，
在△PBP′中，BP′=10，BP=8，PP′=6，
∵6²+8²=10²，
∴PP′²+BP²=BP′²，
∴△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．