Question

13．如圖，拋物線y=ax²+2ax+c（a＞0）與x軸交于A（-3，0）、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），拋物線的頂點(diǎn)為M．
（1）求a、c的值；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）若點(diǎn)P是線段AC上一個動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OP．問：是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)O、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理及逆定理，可得直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)等于對邊比鄰邊，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PC的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得PH與CH的長，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²+2x-3；
（2）y=x²+2x-3=（x+1）²-4，頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（-1，-4）．
又A（-3，0），C（0，-3），
AC=3$\sqrt{2}$．MC=$\sqrt{2}$，AM=2$\sqrt{5}$．
∵AC²+MC²=AM²，
∴∠ACM=90°，
tan∠MAC=$\frac{MC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$
（3）∠PCO=∠BAC=45°，
如圖，
①當(dāng)△PCO∽△BAC時，$\frac{PC}{BA}$=$\frac{CO}{AC}$，即$\frac{PC}{4}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
解得PC=2$\sqrt{2}$．
過P作PH⊥y軸于H點(diǎn)，△PHC為等腰直角三角形，
PH=HC=2，-3+2=-1，
∴P（-2，-1）；
②當(dāng)△PCO∽△CAB時，$\frac{PC}{CA}$=$\frac{CO}{AB}$，即$\frac{PC}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，
解得PC=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
過P作PH⊥y軸于H點(diǎn)，△PHC為等腰直角三角形，
PH=HC=$\frac{9}{4}$，-3+$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
P（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．
綜上所述：存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)O、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，出P點(diǎn)的坐標(biāo)（-2，-1），（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用勾股定理及逆定理得出直角三角形是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的性質(zhì)得出PC的長是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．