遼寧省鞍山一中2009屆高三年級第五次模擬考試
數學試題（理科）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題所給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）
1．函數的周期、振幅依次是 （ ）
A． B． C． D．
2．在復平面內，復數對應的點位于第（ ）象限 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．經過對K2統(tǒng)計量的研究，得到若干個臨界值，當時，我們認為事件A與B
（ ）
A．有95%的把握認為A與B有關
B．有99%的把握認為A與B有關系
C．沒有充分理由說明事件A與B有關系
D．不能確定
4．已知的展開式中只有第四項的二項式系數最大，則展開式中的常數項等于
（ ）
A．15 B．―15 C．20 D．―20
5．已知實數列等于 （ ）
A．―4 B．4 C． D．
6．若動點P到定點F（1，1）和直線l：的距離相等，則動點P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．直線
7．甲、乙、丙3位學生用計算機聯網學習數學，每天上課后獨立完成檢測題，甲答及格的概率為，乙答及格的概率為，丙答及格的概率為，3人各答一次，則3人中只有1人答及格的概率為 （ ）
A． B． C． D．以上全不對
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
10．已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線右支上，且|PF1|=4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）
A． B． C．2 D．
第二串掛著3個小球，第三串掛著4個小球�，F在射擊小
球，射擊規(guī)則是：下面小球被擊中后方可以射擊上面的小
球。若小球A恰好在第五次射擊時被擊中，小球B恰好在
第六次射擊時被擊中（假設每次都擊中小球），則這9個小
球全部被擊中的情形有 （ ）
A．36種 B．72種
C．108種 D．144種
12．設不等式的取值范圍是 （ ）
A． B．
C． D．
13．函數的單調遞增區(qū)間是 。
14．一個袋子里裝有大小相同的5個白球和5個黑球，
從中任取4個，則所含白球個數的期望是 。
15．一個多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的
表面積是 。
16．在等邊三角形ABC內任取一點P，則A，B，C中至少存在一點與P的距離不大于三角形邊長的一半時的概率是 。
三、解答題：（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
17．（本小題滿分12分）
已知向量
（1）求上的單調增區(qū)間；
（2）若的值。
18．（本小題滿分12分）
已知數列
證明：①是等比數列；②
19．（本小題滿分12分）
已知梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E，F分別是AB，CD的中點，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEF⊥平面EBCF（如圖）
（1）求證：BD⊥EG；
（2）求EG與平面ABCD所成的角；
（3）求二面角B―DC―F的余弦值。
20．（本小題滿分12分）
已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）P為橢圓C上一點，弦PA，PB分別過焦點F1，F2，
21．（本小題滿分12分）
已知函數取到極大值。
（1）求實數a的值；
（2）已知；求證：對任意
（3）已知正數
求證：當都有
22．選做題：在A，B，C三小題中只能選作一道題（本小題滿分10分）
A：選修4―1：幾何證明選講
如圖，當△ABC內角都小于120°時（使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點P被稱為△ABC的費馬點），由△ABC的一邊BC向外作正三角形BCD，然后作這個正三角形的外接圓，連結AD交該圓于點Q，求證：點Q是△ABC的費馬點。
B：選修4―4：參數方程與極坐標
如圖，AB是半徑為1的圓的一條直徑，C是此圓上任一點，作射線AC，在AC上存在點P，使AP?AC=1，建立適當的極坐標系，求動點P在你所建立的坐標系下的方程。
C：選修4―5：不等式證明選講
已知：
選擇題：
1―5 ACCAC 6―10 DCBBB 11―12 BC
填空題：
13．[1，2]遞增，遞增 14．2 15．3 16．
解答題：
17．解：①
②若
18．解：①
②公比為2的等比數列。
19．解：建立如圖所示的空間坐標系，
（1）
…………2分
（2）設面ABCD的法向量為即
………………6分
∴EG和平面ABCD所成的角為30° ………………8分
（3）設平面DFC的法向量為
………………10分
∴二面角B―DC―F的余弦值為0 ………………12分
20．（1）設橢圓C的方程為
…………4分
（2）證明：設
①PA，PB都不與x軸垂直，且
②PA或PB與x軸垂直或 ………………12分
21．解：（1）
（2）令
（3）用數學歸納法證。
①當
由（2）得
②當
22．解：由于△BCD是正三角形，且B、D、C、Q四點共圓，所以∠BQD=∠BCD=60°
則∠AQB=180°―∠BAD=120°，同理得∠CQA=120°
又Q點Q在△ABC的內部，∴點Q就是△ABC的費馬點。
解：以A為極點，AB所在直線為極軸，建立極坐標系。
w.w.w.k.s.5.u.
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