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10.設分別為定義在上的奇函數和偶函數，當時，

，且，則不等式的解集是   （       ）

A .     B.     C.     D.

11. 函數在處的導數值為           （       ）

A.0              B.          C.200               D.100！

12. 是定義在區(qū)間[－c,c]上的奇函數，其圖象如圖所示：令，則下列關于函數的敘述正確的是                                               （      ）

A．若,則函數的圖象關于原點對稱.

                      B．若，,則方程有大于2的實根.

                      C．若,,則方程有兩個實根.

D．若,,則方程有三個實根.

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

13.設函數，若為偶函數，則=__________.

14. 已知函數的導數為，則           .

15. 設函數，若對于任意∈[-1，2]都有成立，則實數的取值范圍為             .

16.已知半徑為的圓的面積，周長。若將看作上的變量，則，即圓的面積函數的導數等于圓的周長函數.類似地，對于半徑為的球，若將看作上的變量，則亦類似的式子：_______________，即_____________.

17. (本小題滿分10分)已知二次函數滿足：①在時有極值； ②圖象過點(0,-3)，且在該點處的切線與直線平行．

（Ⅰ）求的解析式；  

（Ⅱ）求函數的單調遞增區(qū)間.

18. (本小題滿分12分)設求函數的單調區(qū)間。

19. (本小題滿分12分)有甲乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于距河岸40km的B處，B到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊選擇合適的地點見一個供水站C，設供水站到甲廠和乙廠的水管費分別為每千米3a元和5a元

問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？

20. (本小題滿分12分)已知函數

（Ⅰ）當的單調區(qū)間；

（Ⅱ）是否存在實數a，使f（x）的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。

21. (本小題滿分12分) 已知函數.

（Ⅰ）如果存在極值，求a的取值范圍；

（Ⅱ）當時，解關于x的不等式（其中）．

22.(本小題滿分12分) 設 f (x) = px－－2 ln x，且 f (e) = qe－－2（e為自然對數的底數，p、q為實數）.

(I)   求 p 與 q 的關系；

(II)  若 f (x) 在其定義域內為單調減函數，求 p 的取值范圍；

(III) 設 g(x) = ，若在 [1,e] 上至少存在一點x₀，使得 f (x₀) > g(x₀) 成立, 求實數 p 的取值范圍.

石家莊二中2007 -2008學年度高三假期考試

數學試題答案（理）

1.A  2.B  3.A  4.C  5A.  6.B  7.C  8.D  9.A  10.D  11.D  12.B  13.  14.  15. （7，+）16.，球的體積函數的導數等于球的表面積函數。

17. 【解答】（Ⅰ）設f(x)=ax²+bx+c，則f ¢(x)=2ax+b．

    由題設可得：即解得

所以f(x)=x²-2x-3．                                                        4分

   （Ⅱ）g(x)=f(x²)=x⁴－2x²－3，g ¢(x)=4x³－4x=4x(x－1)(x+1)．

列表：

x

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,+∞)

f¢(x)

－

0

+

0

－

0

+

f(x)

ㄋ

ㄊ

ㄋ

ㄊ

 由表可得：函數g(x)的單調遞增區(qū)間為(-1,0)，(1,+∞)．                      10分

18. 【解答】

                                       2分

（1）若時，在時，故函數在上單調遞增；            5分

（2）若時，由解得，由解得             

      所以函數在上單調遞減，在上單調遞增。              10分

綜上所述（1）當，函數在上單調遞增；

  （2）當，函數在上單調遞減，在上單調遞增,. 12分

19. 【解答】

   根據題意知，只有點C在線段AD某一適當位置時，才能使水管費用最省。

設點C距點Dkm, 則                                                   

                                            2分   

設總水管費用為元，

依題意得，，                      6分

則 令解方程得，                           9分

即在上，只有一個極值點，據實際問題的意義，函數在km處取得最小值，

此時AC=50-x=20km，

所以供水站應建在A,D之間距甲廠20km處，可使總水管費用最省。                12分

20. 【解答】（Ⅰ）

………………………………………………………………2分

當

所以函數的單調增區(qū)間為（－，－3），（－1，＋）；

單調減區(qū)間為（－3，－1）………………………………6分）

   （Ⅱ）

……………………8分

列表如下：……………………………………加表格10分

x

－2

（－2，－a）

－a

+

0

－

0

+

極大

極小

由表可知解得，所以存在實數a，使的極大值為3。………………………………………………12分

21.【解答】（Ⅰ）f(x)的定義域為(?∞, 1)…………………………………………（1分）

（1）當a≥1時，f(x)=a?x+ln(1?x), f′(x)=?1+<0, f(x)是減函數，無極值；…………………………………………………………………………………………（2分）

（2）當0≤a<1時，若x∈(?∞, a)，則f(x)=a?x+ln(1?x)單調遞減；若x∈(a, 1)，則f(x)=x?a+ln(1?x), f′(x)=<0，f(x)單調遞減，又f(x)在x=a處連續(xù)，所以當0≤a<1時，f(x)是減函數，無極值；………………………………………………………………（4分）

（3）當a<0時，隨著x的變化，f′(x), f(x)的變化情況如下表：

x

(?∞, a)

a

(a, 0)

0

(0, 1)

f′(x)

?

+

0

?

f(x)

ㄋ

ln(1?a)

ㄊ

?a

ㄋ

…………………………………………………………………………………………（7分）

由上表可知，當a<0時，f(x)有極小值ln(1?a)，有極大值?a．

綜上所述，如果f(x)存在極值，a的取值范圍是(?∞, 0)…………………………（8分）

（Ⅱ）∵f(1?e)=a+e，∴原不等式就是f(x)≤f(1?e)……………………………（10分）

由（Ⅰ）知，當a≥0時，f(x)是減函數，∴x≥1?e，又x<1，∴不等式的解集為

[1?e, 1……………………………………………………………………………（12分）

22. 【解答】(I) 由題意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2， Þ (p－q) (e + ) = 0  

而 e + ≠0，∴ p = q       ………… 2分

(II)  由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x， f’(x) = p + －=

令 h(x) = px ²－2x + p，要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內為單調減函數，只需 h(x) 在 (0,+¥) 內滿足h’(x)≤0 恒成立.        ………… 4分

① 當 p = 0時， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f’(x) = － < 0，

∴    f (x) 在 (0,+¥) 內為單調遞減，故 p = 0適合題意.      ………… 5分

②當 p < 0時，h(x) = px ²－2x + p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = Ï (0,+¥)

只需 h(0)≤0，即 p≤0時 h(x)≤0在 (0,+¥) 恒成立.故 p < 0適合題意.       

綜上可得， p≤0  ………… 7分

另解：(II)      由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x， f’(x) = p + －= p (1 + )－…… 4分

要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內為單調減函數，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 內滿足f’(x)≤0 恒成立.        ………… 5分

由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤  Û p≤()_min，x > 0

而 > 0 且 x → 0 時，→ 0，故 p≤0。綜上可得p≤0       ………… 7分

(III) ∵    g(x) = 在 [1,e] 上是減函數，∴  x = e 時，g(x)_min = 2，x = 1 時，g(x)_max = 2e

即    g(x) Î [2,2e]

① p≤0 時，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 遞減 Þ f (x)_max = f (1) = 0 < 2，不合題意。       …… 9分

② 0 < p < 1 時，由x Î [1,e] Þ x－≥0�！�       f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x

右邊為 f (x) 當 p = 1 時的表達式，故在 [1,e] 遞增

∴    f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合題意。       ………… 10分

③ p≥1 時， f (x) 在 [1,e] 連續(xù)遞增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是減函數

∴    本命題 Û f (x)_max > g(x)_min = 2，x Î [1,e] Þ f (x)_max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

 Þ p >     

綜上，p 的取值范圍是 (,+¥) ………… 12分