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          專題三：數(shù)        列
          【考點審視】
          （本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢透視本單元考查的重點.）
          本章內(nèi)容是中學數(shù)學的重點之一，它既具有相對的獨立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等數(shù)學與高等數(shù)學的一個重要的銜接點，因而歷來是高考的重點.
          高考對本章考查比較全面,等差、等比數(shù)列，數(shù)列的極限的考查幾乎每年都不會遺漏.就近五年高考試卷平均計算，本章內(nèi)容在文史類中分數(shù)占13％，理工類卷中分數(shù)占11％，由此可以看出數(shù)列這一章的重要性.
          本章在高考中常見的試題類型及命題趨勢：
          （1）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”，近幾年命題嚴格按照《考試說明》，不要求較復雜由遞推公式求通項問題，例如2004年全國卷一?（15）、（22）.
          （2）探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.
          （3）等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，例如2004全國高考?浙江卷?（3）、（17）（文）、（22）均考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，還有2004年全國高考?上海卷?（4）、（12）均有提及.
          （4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.
          （5）將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.例如2003年全國高考?新課程卷?解答題（19）主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及遞推關(guān)系；2004年全國高考?上海卷?
          解答題（）主要考查了等差數(shù)列及證明.
          通過上述分析，在學習中應(yīng)著眼于教材的基本知識和方法，不要盲目擴大，應(yīng)著重做好以下幾方面：
          （1）      
理解概念，熟練運算
          （2）      
巧用性質(zhì)，靈活自如
           
           
          【疑難點拔】
          （解釋重點、難點及知識體系，尤其是考試中學生常見錯案分析.）
              數(shù)列部分的復習分三個方面:①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用。②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及可化為等差、等比數(shù)列的簡單問題，同時要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用。③要設(shè)計一些新穎題目，尤其是通過探索性題目，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神，數(shù)列綜合能力題涉及的問題背景新穎，解法靈活，解這類題時，要教給學生科學合理的思維，全面靈活地運用數(shù)學思想方法。
              數(shù)列部分重點是等差、等比數(shù)列，而二者在內(nèi)容上是完全平行的，因此，復習時應(yīng)將它們對比起來復習；由于數(shù)列方面的題目解法的靈活性和多樣性，在復習時，要啟發(fā)學生從多角度思考問題，培養(yǎng)學生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)；提倡一題多解，達到事半功倍的效果。
          錯案分析：
          例1.各項均為實數(shù)的等比數(shù)列的前項和記為，若，，則等于__________.
          [錯解一], 或.
          [錯因]將等比數(shù)列中成等比數(shù)列,誤解為成等比數(shù)列.
          [錯解二]是等比數(shù)列,成等比數(shù)列其公比為,從而,得或,或,
          或,或.
          [錯因]忽視了隱含條件.
          [正解]由題設(shè)得:     ① ,       ②,
           ② ①得或（舍去），.
          例2．已知數(shù)列的前項和為非零常數(shù)），則數(shù)列為（   ）
          （A）      
等差數(shù)列                          
（B）等比數(shù)列
          （C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列      
（D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
          [錯解],，（常數(shù)），數(shù)列為等比數(shù)列.
          [錯因]忽略了中隱含條件.
          [正解]當時,,當時,,
          ,為常數(shù),但,數(shù)列從第二項起為等比數(shù)列,選C.
          例3.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每分鐘分裂一次(一個分裂成二個)經(jīng)過h這種細菌由一個可繁殖成_________個.
          [錯解一]由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,    
          個
          [錯解二] 由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,細菌由一個可繁殖成
          [正解] 由題意知,每次分裂細菌數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,,公比,共分裂次,第次應(yīng)為,(個)
          例4.一個球從高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半,當它第次著地時,共經(jīng)過了多少米?
          [錯解]因球每次著地后跳回到原高度的一半,從而每次著地之間經(jīng)過的路程構(gòu)成一個等比數(shù)列,.
          [錯因]每兩次著地之間經(jīng)過的路程應(yīng)為上、下路程之和;而第一次從落下時只有下的路程,應(yīng)單獨計算.
          [正解].
          例5.在等差數(shù)列中,已知,前項和為,且,求當取何值時, 有最大值,并求它的最大值.
          [錯解]設(shè)公差為,,  ,得
          ,即,,當時, ,
          ,當時,有最大值.
          [錯因]僅解不等式是不正確的,應(yīng)解.
          [正解]由,解得公差,
          ,,.
          所以,當或時, 有最大值為.
             
[例6]一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當孩子歲上大學時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？
          [錯解]年利率保持不變，每年到期時的錢數(shù)形成一等比數(shù)列，那么年時取出的錢數(shù)應(yīng)為以為首項，公比為的第項，即
          [錯因]上述解法只考慮了孩子出生時存入的元，到年時的本息，而題目的要求是每年都要存入元。
          [正解]不妨從每年存入的元到年時產(chǎn)生的本息入手考慮，出生時的元到年時變?yōu)?sub>，
          *歲生日時的元到歲時變?yōu)?sub>，……
          歲時的元到歲時變?yōu)?sub>
          從而知，如此存款到歲時取回的錢的總數(shù)應(yīng)為：
           
          專題三：數(shù)        列
          【經(jīng)典題例】
          例1：已知下面各數(shù)列的前項的和為的公式，求數(shù)列的通項公式。
          （1）且；
          （2）若數(shù)列的前項和。
          [思路分析]：
          （1）當時，   ，
          用累乘法、迭代法可求得。
          （2）當時，，由于不適此式，所以  。
          [簡要評述]：由求的唯一途徑是 ，注意分類思想在本題中的應(yīng)用以及累乘、迭代等方法的應(yīng)用。 
          例2：等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。
          [思路分析]：
          方法一：利用等差數(shù)列的求和公式處理，由及得
          ，， 依二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取最大值，且最大值是。
          方法二：數(shù)形結(jié)合處理，由等差數(shù)列的求和公式可得，
          的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散點，最高點的橫坐標為， 
          即最大，易求得最大值為。
          方法三：利用等差數(shù)列的性質(zhì)處理， 由  可得 
          ，又，從而，，，故最大。
          [簡要評述]：數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此求最值問題就是一個重要題型，又因為等差數(shù)列前項和一般是不含常數(shù)項的二次函數(shù)，因此，求最大值可用二次函數(shù)法求之，也可根據(jù)對稱軸來判斷，由于數(shù)列的特殊性還可以把通項公式寫出來，由或來解決，特別注意，用（）時，若解得，是正整數(shù)時，說明中有為的項，因此前項和最大（最�。┯袃身椙宜鼈兿嗟�。
          例3：設(shè)數(shù)列的前項和為，則的值為（  ）
            
（A）     
（B）        （C）    
（D）
          [思路分析]：
          方法一：特殊值法，由原數(shù)列知，在選擇支中只有（D）滿足。
          方法二：看通項，，。
          [簡要評述]：方法一對解答復雜的選擇題有簡化計算的作用，方法二利用通項求，為求和的通法。
          例4：某城市年末汽車保有量為萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過萬量，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？
          [思路分析]：如果設(shè)每年新增汽車數(shù)為萬輛，則遞推或歸納出各年汽車保有量的關(guān)系，即有。  從而。
          ，  。
          下面要求的取值范圍是在的前提下：當為遞減函數(shù)（或常數(shù)），即，這時，符合題意；當時，遞增，而，因而限定，得（萬輛），這樣二者求并集即可。要注意。
          [簡要評述]：不能歸納或探索出汽車在相鄰年份的保有量的關(guān)系是解本題的最大障礙，另外由，可得出，這也是一個重要方法。
           
           
           
          【熱身沖刺】
          一、選擇題：
          1．在等差數(shù)列中，，則                           
（  
）
          

          試題詳情
          

             （A）    
     （B）           
（C）        
（D）以上都不對
          

          試題詳情
          

          解析：，，。                    
答案：A
          

          試題詳情
          

          2．直角三角形三邊成等比數(shù)列，公比為，則的值為                   
（   ）
          

          試題詳情
          

             （A）        （B）        
（C）       （D）
          

          試題詳情
          

          解析：設(shè)三邊為，當時，有，得；
          

          試題詳情
          

          當時，有，得。               
答案：D
          

          試題詳情
          

          3．在等比數(shù)列中， 和  是二次方程  的兩個根，則
          的值為                                                              
（   ）
          

          試題詳情
          

             （A）       （B）        （C）
     （D）
          

          試題詳情
          

          解析：根據(jù)韋達定理，有，又因為，則，所以。                                                
答案：A
          

          試題詳情
          

          4．若等差數(shù)列的公差，則                                    
（  
）
          

          試題詳情
          

             （A）                     （B）
 
          

          試題詳情
          

          （C）                     （D）
與的大小不確定
          

          試題詳情
          

          解析：。答案：B
          

          試題詳情
          

          5．在數(shù)列中，已知，則等于（   ）
          

          試題詳情
          

             （A）        
（B）          
（C）         （D）
          

          試題詳情
          

          解析：，，。答案：D
          

          試題詳情
          

          6．設(shè)為等差數(shù)列的前項和。已知。則
          等于                                                                 
（  
）    
          

          試題詳情
          

             （A）        
（B）           （C）
       （D）
          

          試題詳情
          

          解析：， ，
          

          試題詳情
          

          ，                                           
答案：B
           
           
          

          試題詳情
          

          7．記數(shù)列所有項的和為，第二項及以后各項的和為，第三項及以后各項的和為 ，第項及以后各項的和為，若 ， ，，
          

          試題詳情
          

          ，則等于                                           
（  
）
          

          試題詳情
          

             （A）        
（B）          
（C）        （D）  
          

          試題詳情
          

          解析：。                             
答案：B
          

          試題詳情
          

          8．等差數(shù)列中，，若且，，則的值為                                                               
（  
）
          

          試題詳情
          

             （A）     
  （B）         
（C）        （D）  
          

          試題詳情
          

          解析：由題設(shè)得，而，，又，，。    答案：C
          

          試題詳情
          

          9．彈子跳棋共有顆大小相同球形彈子，現(xiàn)在棋盤上將它們疊成正四面體形球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么剩余的彈子共有                              
（   ）
          

          試題詳情
          

             （A）顆        
（B）4顆         
（C）顆        （D）顆
          

          試題詳情
          

          解析：最上面一層放1個，設(shè)最上一層是第一層，由上而下共有層，第層彈子數(shù)為，總彈子數(shù)為，
          

          試題詳情
          

          由得，故時剩余最小，且剩余顆。   答案：B
          

          試題詳情
          

          10．三個數(shù)成等比數(shù)列，且，則的取值范圍是  （   ）
          

          試題詳情
          

             （A）    
（B）        （C）    
（D）
          

          試題詳情
          

          解析：設(shè)，則有。當時，，而，；當時，，即，而，則，故。   答案：D
          

          試題詳情
          

          二、填空題：
          11．等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則其中間項為______________.
          

          試題詳情
          

          解析:依題意,中間項為,于是有 解得.   答案：
          

          試題詳情
          

          12．若數(shù)列滿足,則通項公式_____________.
          

          試題詳情
          

          解析:由,得,這表明數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，于是有，即。        
答案：
          

          試題詳情
          

          13．對于每一個正整數(shù)，拋物線與軸交于兩點，則的值為______________。
          

          試題詳情
          

          解析：令得，， 
          

          試題詳情
          

           。                       
答案：
          

          試題詳情
          

          14．已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)，都有
          

          試題詳情
          

          ，且，則______________。
          

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          解析：由知函數(shù)當從小到大依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個等差數(shù)列，形成一個首項為，公差為的等差數(shù)列，。        答案：
           
          

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          三、解答題：
          15．已知數(shù)列滿足。
          

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          （1）       求；
          

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          （2）       證明：。
          

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          （1）       解：。
          

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          （2）       證明：由已知，故
          

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          , 所以證得。
          

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          16．已知函數(shù)，當時，，求數(shù)列的通項公式與 。
          

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          解：由，得，即,
          

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           ,所以，數(shù)列是以首項，公差為的等差數(shù)列。
          

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          ,   ，  。
          

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          17．已知等比數(shù)列的前項和為，且。
          

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          （1）      
求、的值及數(shù)列的通項公式；
          

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          （2）       設(shè)，求數(shù)列的前項和。
          

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          解：（1）時，。而為等比數(shù)列，得，
          

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          又，得，從而。又。
          

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          （2），     
     
          

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          得，
          

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          。
           
          

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          18．假設(shè)型汽車關(guān)稅在年是，在年是，年型進口車每輛價格為萬元（其中含萬元關(guān)稅稅款）。
          

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          （1）已知與型車性能相近的型國產(chǎn)車，年的價格為萬元，若型車的價格只受關(guān)稅降低的影響，為了保證在年型車的價格不高于型車價格的，型車的價格要逐年降低，問平均每年至少下降多少萬元？
          

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          （2）某人在年將萬元存入銀行，假設(shè)該銀行扣利息稅后的年利率為（五年內(nèi)不變），且每年按復利計算（例如，第一年的利息記入第年的本金），那么五年到期時這筆錢連本帶息是否一定夠買一輛（1）中所述降價后的型汽車？
          

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          解：（1）因為型車年關(guān)稅稅款為年關(guān)稅稅款的，故所減少了的關(guān)稅稅款為（萬元）。所以，年型車的價格為（萬元）。
          

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          因為在年型車的價格不高于型車價格的，所以有：型車價格（萬元）。因為年型車的價格為萬元，故五年中至少要降價萬元。所以平均每年至少降價萬元。
          

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          （2）根據(jù)題意，年存入的萬元年后到期時連本帶息可得（萬元）。
          

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          因為（萬元），所以夠買一輛（1）中所述降價后的型汽車。
          

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          19．設(shè)函數(shù)的最小值為，最大值為，且。
          

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          （1）求數(shù)列的通項公式；
          

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          （2）設(shè)，求證：。
          

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          解：（1）由已知函數(shù)式可得，，由已知可知，令，得，已知函數(shù)最小值為，最大值為，，
          

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          ，。
          

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          （2），
          

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          。
          

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          又，
          

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          。
          

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          因此，。
          

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          20．設(shè)平面上有直線，曲線。又有下列方式定義數(shù)列：
          

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          （1）；（2）當給定后，作過點且與軸平行的直線，它與的交點記為；再過點且與軸平行的直線，它與的交點記為，定義為的橫坐標。試求數(shù)列的通項，并計算 。
          

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          解：顯然，的坐標可寫為，的坐標寫為，故有，
          

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          ，兩邊取對數(shù)并整理得：， 從而得
          

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          ，即 ，，
          

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           ， ， ，
          

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           。
           
           
           
           
           
           
           
           
          

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