Question

已知x、y∈R⁺，且4x+y=1，求

1

x

+

9

y

的最小值．某同學做如下解答：
因為x、y∈R⁺，所以1=4x+y≥2

4xy

…①，

1

x

+

9

y

≥2

9 xy

…②，
①×②得

1

x

+

9

y

≥2

4xy

•2

9 xy

=24，所以

1

x

+

9

y

的最小值為24．
判斷該同學解答是否正確，若不正確，請在以下空格內填寫正確的最小值；若正確，請在以下空格內填寫取得最小值時x、y的值______．

Answer 1

其解答不正確．
因為x、y∈R⁺，所以1=4x+y≥2

4xy

…①，

1

x

+

9

y

≥2

9 xy

…②，
①×②得

1

x

+

9

y

≥2

4xy

•2

9 xy

=24，所以

1

x

+

9

y

的最小值為24．
其問題在：①等號成立的充要條件是4x=y=

1

2

；②等號成立的充要條件是y=9x，因此兩個等號成立的條件不一樣，即不能同時成立，故其最小值不是24．
其正確解答如下：∵x、y∈R⁺，且4x+y=1，
∴

1

x

+

9

y

=(4x+y)(

1

x

+

9

y

)=13+

y

x

+

36x

y

≥13+2

y x • 36x y

=25，當且僅當y=6x=

3

5

時取等號．
因此

1

x

+

9

y

的最小值為25．
故答案為：25．