Question

【題目】橢圓的離心率為，左焦點到直線的距離為10，圓.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上任意一點，為圓的任一直徑，求的取值范圍；

（3）是否存在以橢圓上點為圓心的圓，使得過圓上任意一點作圓的切線，切點為，都滿足？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在；圓的方程

【解析】

（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，進而確定橢圓方程；

（2）設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理以及向量的數(shù)量積可得，結(jié)合橢圓上點的滿足以及的取值范圍求解；

（3）設(shè)圓，由于，則，兩圓聯(lián)立得對圓上任意點恒成立，即可求得和，求得圓的方程.

（1）由左焦點到直線的距離為10得，

又因為，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，因為點在橢圓上，所以.

，

因為，所以，

即的取值范圍是.

（3）設(shè)圓，其中，

則.

由于，則，

即，

代入，

得對圓上任意一點恒成立.

則即

經(jīng)檢驗，滿足，故存在符合條件的圓，它的方程是.