Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有極值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，若在，處導數(shù)相等，證明：；

（3）若函數(shù)在上有兩個零點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)存在穿過型零點求解；

（2）由得出，利用基本不等式得出，然后計算可得證；

（3）轉(zhuǎn)化為，通過研究的單調(diào)性、極值得出的兩個零點的范圍，不妨設不妨設，然后分類討論，若，則結(jié)論成立；

若，即時，構(gòu)造新函數(shù)，，通過導數(shù)（需兩次求導）得出的單調(diào)性，由的關(guān)系：．可證得結(jié)論，

解：（1）由題意知，

因為有極值，所以當，有解，所以.

（2）證明：，由，

得，

即，

因為，且，

所以，得，

則.

（3）證明：，

即，令，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，.

令，其中，

則，

當時，，故，

從而當時有兩個零點，

不妨設，

若，則結(jié)論成立；

若，即時，

令，，

則，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，

則，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

即在上恒成立，

∴，

∵，，

而在上單調(diào)遞增，

∴，即．