(本題滿分14分)
對數(shù)列{a
n},規(guī)定{△a
n}為數(shù)列{a
n}的一階差分?jǐn)?shù)列,其中

。
對自然數(shù)k,規(guī)定

為{a
n}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中

。
(1)已知數(shù)列{a
n}的通項公式

,試判斷

是否為等差或等比數(shù)列,為什么?
(2)若數(shù)列{a
n}首項a
1=1,且滿足

,求數(shù)列{a
n}的通項公式。
(3)對(2)中數(shù)列{a
n},是否存在等差數(shù)列{b
n},使得

對一切自然

都成立?若存在,求數(shù)列{b
n}的通項公式;若不存在,則請說明理由。
(1)根據(jù)給定的新定義來分析得到結(jié)論。
(2)

(3)存在等差數(shù)列

,b
n=n,使得

對一切自然

都成立。
試題分析:解:(1)


是首項為4,公差為2的等差數(shù)列


是首項為2,公差為0的等差數(shù)列;也是首項為2,公比為1的等比數(shù)列
(2)

,即

,即



猜想:

證明:i)當(dāng)n=1時,

;
ii)假設(shè)n=k時,

時,

結(jié)論也成立
∴由i)、ii)可知,

(3)

,即


∴存在等差數(shù)列

,b
n=n,使得

對一切自然

都成立。
點評:解決該試題的關(guān)鍵是利用數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的概念結(jié)合得到結(jié)論,屬于基礎(chǔ)題。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知等差數(shù)列

滿足,

,則前
n項和

取最大值時,
n的值為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
首項為

的等差數(shù)列,從第10項開始為正數(shù),則公差

的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知數(shù)列

滿足:

(其中常數(shù)

).
(Ⅰ)求數(shù)列

的通項公式;
(Ⅱ)求證:當(dāng)

時,數(shù)列

中的任何三項都不可能成等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)

為數(shù)列

的前

項和.求證:若任意

,

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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知等差數(shù)列{a
n}的前n項和為S
n,如果S
3=12,a
3+a
5=16,那么

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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知正項等差數(shù)列

的前

項和為

,且滿足

,

.
(Ⅰ)求數(shù)列

的通項公式

;
(Ⅱ)若數(shù)列

滿足

且

,求數(shù)列

的前

項和

.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列

滿足:

,其中

為

的前n項和.
(1)求

的通項公式;
(2)若數(shù)列

滿足

,求

的前n項和

.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知數(shù)列

滿足

,數(shù)列

滿足

,
數(shù)列

滿足

.
(1)若

,證明數(shù)列

為等比數(shù)列;
(2)在(1)的條件下,求數(shù)列

的通項公式;
(3)若

,證明數(shù)列

的前

項和

滿足

。
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