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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x2 (a為實常數(shù)).
          (1)當a=﹣4時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)當x∈[1,e]時,討論方程f(x)=0根的個數(shù);
          (3)若 a>0,且對任意的x1 , x2∈[1,e],都有|f(x1)﹣f(x2)| ,求實數(shù)a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:當a=﹣4時,

          時,f'(x)<0;當 時,f'(x)>0.

          ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ,單調(diào)遞增區(qū)間為


          (2)解:當x=1時,方程f(x)=0無解.

          當x≠1時,方程f(x)=0(x∈[1,e])等價于方程 (x∈(1,e]).

          設(shè)g(x)= ,則

          時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)遞減,

          時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)遞增.

          又g(e)=e2 ,作出y=g(x)與直線y=﹣a的圖像,

          由圖像知:

          當2e<﹣a≤e2時,即﹣e2≤a<﹣2e時,方程f(x)=0有2個相異的根;

          當a<﹣e2或a=﹣2e時,方程f(x)=0有1個根;

          當a>﹣2e時,方程f(x)=0有0個根


          (3)解:若a>0時,f(x)在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),函數(shù) 在區(qū)間[1,e]上是減函數(shù).

          不妨設(shè)1≤x1≤x2≤e,

          則|f(x1)﹣f(x2)| 等價于

          即函數(shù) 在x∈[1,e]時是減函數(shù).

          ,即 在x∈[1,e]時恒成立.

          在x∈[1,e]時是減函數(shù),∴

          所以,實數(shù)a的取值范圍是


          【解析】(1)當a=﹣4時,利用導數(shù)的運算法則可得 ,在區(qū)間(0,+∞)上分別解出f′(x)>0和f′(x)<0即可得出單調(diào)區(qū)間;(2)當x=1時,方程f(x)=0無解.當x≠1時,方程f(x)=0(x∈[1,e])等價于方程 (x∈(1,e]).
          設(shè)g(x)= ,則 .分別解出g′(x)>0與g′(x)<0即可得出單調(diào)性,
          又g(e)=e2 , ,作出y=g(x)與直線y=﹣a的圖像,由圖像可知a的范圍與方程根的關(guān)系;(3)若a>0時,f(x)在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),函數(shù) 在區(qū)間[1,e]上是減函數(shù).
          不妨設(shè)1≤x1≤x2≤e,則|f(x1)﹣f(x2)| 等價于
          ,即函數(shù) 在x∈[1,e]時是減函數(shù).
          可得 ,即 在x∈[1,e]時恒成立.再利用 在x∈[1,e]時是減函數(shù),即可得出實數(shù)a的取值范圍.
          【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

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          ②在α﹣仿射坐標系中,若 =( , ),若 =( ,﹣ ),則 =0;
          ③在60°﹣仿射坐標系中,若P(2,﹣1),則| |= ;
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