Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若該橢圓上存在一點P使得∠F₁PF₂=60°，則橢圓離心率的取值范圍是______．

Answer 1

如圖，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達到最大值．由此可得：
∵存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤

3

OF₂，即b≤

3

c，
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，
∴

c

a

≥

1

2

，
∵0＜e＜1，
∴

1

2

≤e＜1．
故答案為：

1

2

≤e＜1．