Question

如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分別為AC、DC、AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）求三棱錐D-BCG的體積．
附：錐體的體積公式V=

1

3

Sh，其中S為底面面積，h為高．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）在平面ABC內(nèi)，作AO⊥CB，交CB的延長線于O，G到平面BCD的距離h是AO長度的一半，利用V_D-BCG=V_G-BCD=

1

3

S△DCBh，即可求三棱錐D-BCG的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，
∴△ABC≌△DBC，
∴AC=DC，
∵G為AD的中點，
∴CG⊥AD．
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG=G，
∴AD⊥平面BGC，
∵EF∥AD，
∴EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）解：在平面ABC內(nèi)，作AO⊥CB，交CB的延長線于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，
∴AO⊥平面BCD，
∵G為AD的中點，
∴G到平面BCD的距離h是AO長度的一半．
在△AOB中，AO=ABsin60°=

3

，
∴V_D-BCG=V_G-BCD=

1

3

S△DCBh=

1

3

•

1

2

•BD•BC•sin120°×

3

2

=

1

2

．

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，正確轉換底面是關鍵．