Question

如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F．
（Ⅰ）求證：AB為圓的直徑；
（Ⅱ）若AC=BD，求證：AB=ED．

Answer 1

考點：圓周角定理,與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明AB為圓的直徑，只需證明∠BDA=90°；
（Ⅱ）證明Rt△BDA≌Rt△ACB，再證明∠DCE為直角，即可證明AB=ED．

解答： 證明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
∵PD為切線，∴∠PDA=∠DBA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠DBA=∠EGA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，
∴∠NDA=∠PFA，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．
∴∠BDA=90°，
∴AB為圓的直徑；
（Ⅱ）連接BC，DC，則
∵AB為圓的直徑，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，
∵AB⊥EP，
∴DC⊥EP，
∴∠DCE為直角，
∴ED為圓的直徑，
∵AB為圓的直徑，
∴AB=ED．

點評：本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形全等的證明，考查直徑所對的圓周角為直角，屬于中檔題．