Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是線段AB的中點．
（Ⅰ）求證：C₁M∥平面A₁ADD₁；
（Ⅱ）若CD₁垂直于平面ABCD且CD₁=

3

，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接AD₁，易證AMC₁D₁為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得C₁M∥平面A₁ADD₁；
（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C為原點，CD為x軸，CP為y軸，CD₁為z軸建立空間坐標(biāo)系，易求C₁（-1，0，

3

），D₁，（0，0，

3

），M（

1

2

，

3

2

，0），

C1D1

=（1，1，0），

D1M

=（

1

2

，

3

2

，-

3

），設(shè)平面C₁D₁M的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），可求得

n1

=（0，2，1），而平面ABCD的法向量

n2

=（1，0，0），從而可求得平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）連接AD₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為四棱柱，∴CD

∥

.

C₁D₁，
又M為AB的中點，∴AM=1．
∴CD∥AM，CD=AM，
∴AM

∥

.

C₁D₁，
∴AMC₁D₁為平行四邊形，∴AD₁∥MC₁，又MC₁?平面A₁ADD₁，AD₁?平面A₁ADD₁，
∴C₁M∥平面A₁ADD₁；
（Ⅱ）解法一：∵AB∥A₁B₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴面D₁C₁M與ABC₁D₁共面，
作CN⊥AB，連接D₁N，則∠D₁NC即為所求二面角，
在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，
∴CN=

3

2

，
在Rt△D₁CN中，CD₁=

3

，CN=

3

2

，
∴D₁N=

15

2

∴cos∠D₁CN=

NC

D1N

=

3 2

15 2

=

5

5

解法二：作CP⊥AB于P，以C為原點，CD為x軸，CP為y軸，CD₁為z軸建立空間坐標(biāo)系

則C₁（-1，0，

3

），D₁，（0，0，

3

），M（

1

2

，

3

2

，0），
∴

C1D1

=（1，0，0），

D1M

=（-

1

2

，

3

2

，-

3

），
設(shè)平面C₁D₁M的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
則

x1=0 - 1 2 x1+ 3 2 y1- 3 z1=0

，∴

n1

=（0，2，1）．
顯然平面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1），
cos＜

n1

，

n2

＞|=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

5

=

5

5

，
顯然二面角為銳角，
∴平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力，空間向量的坐標(biāo)運算，推理論證能力和運算求解能力．