Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3x．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍；
（Ⅲ）問過點(diǎn)A（-1，2），B（2，10），C（0，2）分別存在幾條直線與曲線y=f（x）相切？（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)比較f（-2），f（-

2

2

），f（

2

2

），f（1）的大小即得結(jié)論；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程4

x

3 0

-6

x

2 0

+t+3=0，設(shè)g（x）=4x³-6x²+t+3，則“過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”，
等價(jià)于“g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)”．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得出函數(shù)的零點(diǎn)情況，得出結(jié)論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論寫出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2x³-3x得f′（x）=6x²-3，
令f′（x）=0得，x=-

2

2

或x=

2

2

，
∵f（-2）=-10，f（-

2

2

）=

2

，f（

2

2

）=-

2

，f（1）=-1，
∴f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值為

2

．

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x₀，y₀），
則y₀=2

x

3 0

-3x₀，且切線斜率為k=6

x

2 0

-3，
∴切線方程為y-y₀=（6

x

2 0

-3）（x-x₀），
∴t-y₀=（6

x

2 0

-3）（1-x₀），
即4

x

3 0

-6

x

2 0

+t+3=0，
設(shè)g（x）=4x³-6x²+t+3，
則“過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”，等價(jià)于“g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)”．
∵g′（x）=12x²-12x=12x（x-1），
∴g（x）與g′（x）變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	t+3	↘	t+1	↗

∴g（0）=t+3是g（x）的極大值，g（1）=t+1是g（x）的極小值．
當(dāng)g（0）=t+3≤0，即t≤-3時(shí)，g（x）在區(qū)間（-∞，1]和（1，+∞）上分別至多有一個(gè)零點(diǎn)，故g（x）至多有2個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)g（1）=t+1≥0，即t≥-1時(shí)，g（x）在區(qū)間（-∞，0]和（0，+∞）上分別至多有一個(gè)零點(diǎn)，故g（x）至多有2個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)g（0）＞0且g（1）＜0，即-3＜t＜-1時(shí)，∵g（-1）=t-7＜0，g（2）=t+11＞0，
∴g（x）分別在區(qū)間[-1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1個(gè)零點(diǎn)，由于g（x）在區(qū)間（-∞，0）和[1，+∞）上單調(diào)，
故g（x）分別在區(qū)間（-∞，0）和[1，+∞）上恰有1個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)過點(diǎn)過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切時(shí)，t的取值范圍是（-3，-1）．

（Ⅲ）過點(diǎn)A（-1，2）存在3條直線與曲線y=f（x）相切；
過點(diǎn)B（2，10）存在2條直線與曲線y=f（x）相切；
過點(diǎn)C（0，2）存在1條直線與曲線y=f（x）相切．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程及判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值等知識，考查轉(zhuǎn)化劃歸思想及分類討論思想的運(yùn)用能力和運(yùn)算能力，屬難題．