Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，

3

），離心率為

1

2

，左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l：y=-

1

2

x+m與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與以F₁F₂為直徑的圓交于C、D兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意可得

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解出即可．
（Ⅱ）由題意可得以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：圓心到直線(xiàn)l的距離d及d＜1，可得m的取值范圍．利用弦長(zhǎng)公式可得|CD|=2

1-d2

．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線(xiàn)l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到弦長(zhǎng)|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．由

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，即可解得m．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，
解得b=

3

，c=1，a=2．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意可得以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1．
∴圓心到直線(xiàn)l的距離d=

2|m|

5

，
由d＜1，可得|m|＜

5

2

．（*）
∴|CD|=2

1-d2

=2

1- 4m2 5

=

2

5

5-4m2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，
化為x²-mx+m²-3=0，
可得x₁+x₂=m，x1x2=m2-3．
∴|AB|=

[1+(- 1 2 )2][m2-4(m2-3)]

=

15

2

4-m2

．
由

|AB|

|CD|

=

5 3

4

，得

4-m2 5-4m2

=1，
解得m=±

3

3

滿(mǎn)足（*）．
因此直線(xiàn)l的方程為y=-

1

2

x±

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓及圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．