Question

【題目】已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

（1）求；

（2）當(dāng)時(shí)，求的解析式.

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由奇函數(shù)的定義得出的值；

（2）設(shè)，可得，可計(jì)算出的表達(dá)式，再利用奇函數(shù)的定義可得出，即可得出的表達(dá)式；

（3）分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式化為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出，可得出，求出函數(shù)的最小值可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)定義在上的奇函數(shù)，；

（2）當(dāng)時(shí)，，，

又函數(shù)是奇函數(shù)，，，

故當(dāng)時(shí)，；

（3）由得，

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，

則.

由于函數(shù)是奇函數(shù)，則該函數(shù)在上也為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，又，函數(shù)在上是減函數(shù)，

又，，即恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

令，則，，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.