Question

【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓： （）的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)， 在橢圓上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率為，對(duì)于橢圓來說， ，由此求得和橢圓的方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式求得的一個(gè)不等關(guān)系，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得一個(gè)等量關(guān)系，利用表示，進(jìn)而用基本不等式求得的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.

因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)是橢圓： （）的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以，且，解得.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以直線的斜率存在.

因?yàn)橹本�在軸上的截距為，所以可設(shè)直線的方程為.

代入橢圓方程得 .

因?yàn)?/span> ，

所以.

設(shè)， ，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得， .

則 .

因?yàn)?/span>，即 .

整理得.

令，則.

所以 .

等號(hào)成立的條件是，此時(shí)， 滿足，符合題意.

故的最大值為.