Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，分情況討論函數(shù)單調(diào)性；

（2）解法一：轉(zhuǎn)化思想，等價(jià)于設(shè)，只須證當(dāng)時(shí)，成立，即可證明.

解法二：導(dǎo)出的不等式，要證，只須證；

解法三：同解法二，只須證，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用放縮法，證明不等式；

解法四：要證，只須證.因?yàn)?/span>，所以（）所以只須證，即證；

解法五：要證，只須證，結(jié)合解法四的放縮法，因?yàn)?/span>，所以（）再結(jié)合解法三的放縮法，又 ，即可證明.

解法一：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

.

當(dāng)時(shí)，在恒成立，故在單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，由得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）由，等價(jià)于.

設(shè)，只須證當(dāng)時(shí)，成立.

因?yàn)?/span>，

由，得有異號(hào)兩根，令其正根為，

則，從而.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以的最大值為，

令，則，，

所以.

所以.

所以，所以當(dāng)時(shí)，.

解法二：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.①

設(shè)，則

令，則，在單調(diào)遞減，

又，，

所以存在惟一的，使.

當(dāng)時(shí)，，從而，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減.

所以的最大值為，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又，所以①式成立，所以當(dāng)時(shí)，.

解法三：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.①

令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以，所以.

所以，

要證①式成立，只須證.②

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以的最大值為，

又，所以②式成立，

所以當(dāng)時(shí)，.

解法四：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.

因?yàn)?/span>，所以（）

所以只須證，即證.①

設(shè)，

則（），

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

所以，所以①式成立，

所以當(dāng)時(shí)，.

解法五：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.

因?yàn)?/span>，所以（）

又（證明過(guò)程見解法三，考生未寫出證明過(guò)程扣1分）

所以只須證，即證，這顯然成立.

所以當(dāng)時(shí)，.