Question

【題目】如圖， 是邊長為3的正方形，平面，，，BE與平面所成角為．

（Ⅰ）求證：平面 ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點M在線段BD上，且平面BEF，求的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

(Ⅰ)利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)果和空間向量的結(jié)論求得點M的坐標(biāo)即可求得的長．

（Ⅰ）因為平面，所以，

因為是正方形，所以，

又BD，DE交于點E，從而平面．

（Ⅱ）因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

因為BE與平面所成角為，即

所以．由可知，

則，，，，，

所以，

設(shè)平面BEF的法向量為，則，

即，令，則

因為平面，所以為平面的法向量，，

所以．

因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．

（Ⅲ）點M是線段BD上一個動點，設(shè)．則，

因為平面BEF，所以，

即，解得．

此時，點M坐標(biāo)為，，符合題意．