Question

【題目】已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意的都有不等式成立.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先由函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的解析式，然后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，考查臨界條件，求得臨界值即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

注意到時(shí),,

即是函數(shù)的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)為，

據(jù)此結(jié)合題意可知：是函數(shù)的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)為，

由函數(shù)的解析式有，故：

，解得：，

則函數(shù)的解析式為，

函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

則函數(shù)與函數(shù)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

注意到，

繪制函數(shù)圖像如圖所示，考查如圖所示的臨界情況，

當(dāng)函數(shù)與函數(shù)只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)：

若一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則：且,解得；

若一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則：且,解得；

若一次函數(shù)與二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)相切，

由可得，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為：，

切線方程為：，

整理可得：，

由于，考查一次函數(shù)斜率與軸截距的關(guān)系可得：

，解得：，

則切線的斜率為：.

綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是.