Question

【題目】已知函數(shù)在時有最大值和最小值，設(shè).

（1）求實數(shù)的值；

（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）在區(qū)間上是增函數(shù)，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.

（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，得到，計算得到答案.

（3）令，則方程化為，根據(jù)函數(shù)圖像得到答案.

（1）函數(shù)，

因為，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故，解得.

（2）由已知可得，則，

所以不等式，

轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

設(shè)，則，即，在，上恒成立，

即，∵，∴，

∴當(dāng)時，取得最小值，最小值為，則，即.

所以的取值范圍是.

（3）方程可化為：

，，

令，則方程化為，，

∵方程有三個不同的實數(shù)解，

∴由的圖象知，

，，有兩個根、，

且或，.

記，

則，即，此時，

或得，此時無解，

綜上.