Question

（湖南省●2010年月考）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，M、N分別是A₁B、B₁C₁的中點.

（Ⅰ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直線BC₁和平面A₁BC所成角的大小.
                                                       
                                                       

Answer 1

見解析

解法一：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，

     所以BC⊥平面ACC₁A₁.連結AC₁，則BC⊥AC₁.                          
     由已知，側面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC_1.                             
     又，所以AC₁⊥平面A₁BC.
因為側面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中點，連結AB₁，則點M是AB₁的中點.
又點N是B₁C₁的中點，則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁.  故MN⊥平面A₁BC.                                                         
     （Ⅱ）因為AC₁⊥平面A₁BC，設AC₁與A₁C相交于點D，連結BD，則∠C₁BD為直線BC₁和平面A₁BC所成角.                            
       設AC＝BC＝CC₁＝a，則，.                           
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD＝，                                    
所以∠C₁BD＝30º，故直線BC₁和平面A₁BC所成的角為30º.                   
解法二：（Ⅰ）據(jù)題意CA、CB、CC₁兩兩垂直，以C為原點，
CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間
直角坐標系，如圖設AC＝BC＝CC₁＝a，則
，
， 
所以，，.
于是，，即MN⊥BA₁，MN⊥CA₁.
又，故MN⊥平面A₁BC.
（Ⅱ）因為MN⊥平面A₁BC，則為平面A₁BC的法向量，又，
則，所以.
     故直線BC₁和平面A₁BC所成的角為30º.