Question

過(guò)拋物線y²=3x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，若S_△AOF=3S_△BOF，則|AB|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)直線的AB的斜率為銳角，利用S_△AOF=3S_△BOF，求得y_A=-3y_B，設(shè)出直線AB的方，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出y_A+y_B和y_Ay_B，進(jìn)而求得利用

yA

yB

+

yB

yA

求得m，最后利用斜率和A，B的坐標(biāo)求得|AB|．

解答： 解：設(shè)直線的AB的斜率為銳角，
∵S_△AOF=3S_△BOF，
∴y_A=-3y_B，
∴設(shè)AB的方程為x=my+

3

4

，與y²=3x聯(lián)立消去x得，
4y²-12my-9=0，
∴y_A+y_B=3m，y_Ay_B=-

9

4

∴

yA

yB

+

yB

yA

=

(yA+yB)2-2yAyB

yAyB

=

(yA+yB)2

yAyB

-2=

9m2

- 9 4

-2=-3-

1

3

，
∴m²=

1

3

，
∴|AB|=

1+m2

•

(yA+yB)2-4yAyB

=4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的概念和性質(zhì)，直線和拋物線的綜合問(wèn)題．要注意解題中出了常規(guī)的聯(lián)立方程，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示外，還可考慮運(yùn)用某些幾何性質(zhì)．