Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²e^-x+2a，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，恒有ae^x＞x²，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，恒有ae^x＞x²，分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=e^-x（2x-x²），令f′（x）=0⇒x=0或2，
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	極小值	增	極大值	減

由上表可知f（x）_極小值=f（0）=2a；f(x)極大值=f(2)=

4

e2

+2a．       …（6分）
（Ⅱ）由ae^x＞x²⇒a＞

x2

ex

=x2e-x，∴3a＞x²e^-x+2a，?x∈（0，+∞）
令f（x）=x²e^-x+2a，由（Ⅰ）可知：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x=2時(shí)，f（x）_min=f（2）=

4

e2

+2a，
所以3a＞

4

e2

+2a⇒a＞

4

e2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最值，正確運(yùn)用分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．