Question

設(shè)函數(shù)f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，其中△PQR為等腰直角三角形，∠PQR=

π

2

，PR=1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）-

1

4

在x∈[0，4]時的所有零點(diǎn)之和．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）利用面積法求出A，由周期求出ω，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由f(x)-

1

4

=0，得cosπx=

1

2

，故x=2k+

1

3

，或x=2k+

5

3

（k∈Z），由此求得當(dāng)x∈[0，4]時，所有零點(diǎn)之和．

解答： 解：（I）如圖，由已知得

1

2

•PR•A=

1

2

PQ•QR，即

1

2

×1×A=

1

2

×

2

2

×

2

2

，
求得A=

1

2

．
再根據(jù)

1

2

•T=

1

2

•

2π

ω

=PR=1，可得ω=π，所以f(x)=

1

2

cosπx．
（Ⅱ）由f(x)-

1

4

=0，得cosπx=

1

2

，故x=2k+

1

3

，或x=2k+

5

3

（k∈Z），
所以當(dāng)x∈[0，4]時，的所有零點(diǎn)之和為S=(

1

3

+

5

3

)+(

7

3

+

11

3

)=8．

點(diǎn)評：本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．