Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²-4n+4（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試構(gòu)造一個數(shù)列{b_n}（寫出{b_n}的一個通項公式）滿足：對任意的正整數(shù)n都有b_n＜a_n，且

lim

n→∞

an

bn

=2，并說明理由；
（3）設(shè)各項均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足的正整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{c_n}的變號數(shù)．令c_n=1-

4

an

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的變號數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）構(gòu)造數(shù)列b_n=n-k，對任意的正整數(shù)n都有b_n＜a_n，可得k＞3，即可得出結(jié)論；
（3）驗證n≥2時，有2個變號數(shù)；判斷n=1時變號數(shù)有1個，最后綜合答案可得．

解答： 解：（1）∵S_n=n²-4n+4，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，
n=1時，a₁=1，
∴a_n=

2n-5，n≥2 1，n=1

…（4分）
（2）要使

lim

n→∞

an

bn

=2，可構(gòu)造數(shù)列b_n=n-k，
∵對任意的正整數(shù)n都有b_n＜a_n，
∴當(dāng)n≥2時，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2，
∴k＞3，
又b_n≠0，∴k∉N^*，∴b_n=n-

7

2

，等等．        …（10分）
（3）由題設(shè)c_n=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

，
當(dāng)n≥2時，c_n•c_n+1＜0，可得

3

2

＜n＜

5

2

或

7

2

＜n＜

9

2

，
∴n=2或n=4；…（14分）
又∵c₁=-3，c₂=5，∴n=1時也有c₁•c₂＜0．
綜上得 數(shù)列{c_n}共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3．   …（16分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項，考查新定義，解題的關(guān)鍵是理解新定義，判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而確定數(shù)列的變號數(shù)．