Question

設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
(1)若，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若直線AB的方向向量為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，求的面積；
(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn)，求證：直線的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

(1)  ；(2) 。
(3)顯然直線的斜率都存在，分別設(shè)為．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
聯(lián)立方程組得到 ，
，得到．

試題分析：
思路分析：(1) 利用“代入法”。
(2) 聯(lián)立方程組得，，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求 
，得到面積。
(3)直線的斜率都存在，分別設(shè)為．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線AB：，代入拋物線得， 確定 ，
，得到．
解：(1) 設(shè)，，焦點(diǎn)，則由題意，即 
所求的軌跡方程為，即 
(2) ，，直線，
由得，， 
， 。
(3)顯然直線的斜率都存在，分別設(shè)為．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線AB：，代入拋物線得， 所以，
又，，
因而，
因而 
而，故．
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及“弦中點(diǎn)”問(wèn)題，往往利用“代入法”求軌跡方程。涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。