Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為（）．點(diǎn)在上，，△的周長(zhǎng)為，面積為．

（1）求的方程；

（2）過的直線與交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與直線相切，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意知△的周長(zhǎng)為，得，又由△的面積，求得，得出，聯(lián)立方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，再由弦長(zhǎng)公式得，得出以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再利用圓與直線相切，解得，即可得到答案．

（1）設(shè)橢圓，

依題意知△的周長(zhǎng)為，得，…①

又因?yàn)?/span>，所以，

所以△的面積，

所以，即…②，

聯(lián)立①②解得，則，

所以的方程為．

（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不滿足題意．

設(shè)直線的方程為，，

由消去，得，

從而，

所以

，

設(shè)以為直徑的圓的圓心，半徑為，則，

又，,

又因?yàn)閳A與直線相切，則，即，解得．

所以直線的方程為，即