Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，沿對(duì)角線將折起，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好落在邊上．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而，平面，由此能證明平面平面．

（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，連接，則平面，因?yàn)?/span>平面，

．

四邊形是矩形，，平面，．

又，平面，平面，

所以平面，

而平面，

平面平面．

（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，則，，．

由（Ⅰ）知，又，，，

，，，

，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即

不妨取，則，，．

而平面的一個(gè)法向量為，

．

故二面角的余弦值為．