Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點的個數(shù)確定a的范圍即可．

解析：

（Ⅰ）.

（i）若，則當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；

故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（ii）當(dāng)時，由，解得： 或.

①若，即，則， ，

故在單調(diào)遞增．

②若，即，則當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；故函數(shù)在， 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

③若，即，則當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；故函數(shù)在， 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

（Ⅱ）（i）當(dāng)時，由（Ⅰ）知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

∵，

取實數(shù)滿足且，則

，

所以有兩個零點．

（ii）若，則，故只有一個零點．

（iii）若，由（I）知，

當(dāng)，則在單調(diào)遞增，又當(dāng)時， ，故不存在兩個零點； 當(dāng)，則函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．又當(dāng)時， ，故不存在兩個零點．

綜上所述， 的取值范圍是．