Question

【題目】四棱錐中，交于點(diǎn),且，

。

（1）若為中點(diǎn)，求證：∥。

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求三棱錐的體積，并證明：。

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由，推出在的垂直平分線(xiàn)上，同理在的垂直平分線(xiàn)上，從而推出，且為中點(diǎn)，再根據(jù)，為中點(diǎn)，即可推出，可證∥，即可證明∥面；（2）根據(jù)及，可推出當(dāng)與底面垂直時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)可證，從而證明，且可算出，再根據(jù)，即可算出三棱錐的體積.

試題解析：（1）證明：∵

∴在的垂直平分線(xiàn)上，

同理在的垂直平分線(xiàn)上.

∴即為的垂直平分線(xiàn)

∴，且為中點(diǎn)

∵，為中點(diǎn)

∴三角形中，

∴∥

∵

∴∥

（2）由題知，顯然.

故當(dāng)與底面垂直時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)可得.

∵

∴

∵

∴，此時(shí)

∴

∴

∴三棱錐的體積為2