Question

對于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項(xiàng)，把或（）作為新數(shù)列的第項(xiàng)，數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）寫出的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為．

Answer 1

（1）（2）（3）詳見解析.

試題分析：（1）列舉出數(shù)列所有可能情況，共種，分別計(jì)算和值為，本題目的初步感觀生成數(shù)列（2）已知和項(xiàng)解析式，則可利用求通項(xiàng). 當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才成立．所以（3）本題實(shí)際是對（1）的推廣.證明的實(shí)質(zhì)是確定集合的個(gè)數(shù)及其表示形式.首先集合的個(gè)數(shù)最多有種情形，而每一種的值都不一樣，所以個(gè)數(shù)為種情形，這是本題的難點(diǎn)，利用同一法證明. 確定集合的表示形式，關(guān)鍵在于說明分子為奇數(shù).由得分子必是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)數(shù)由范圍確定.
試題解析：解：（1）由已知，，，
∴，
由于，
∴可能值為．                              3分
（2）∵，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，，                         5分
∵是的生成數(shù)列，
∴；；；
∴
在以上各種組合中，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才成立．
∴．                          8分
（3）共有種情形．
，即，
又，分子必是奇數(shù)，
滿足條件的奇數(shù)共有個(gè)．            10分
設(shè)數(shù)列與數(shù)列為兩個(gè)生成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，從第二項(xiàng)開始比較兩個(gè)數(shù)列，設(shè)第一個(gè)不相等的項(xiàng)為第項(xiàng)．
由于，不妨設(shè)，
則

，
所以，只有當(dāng)數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)完全相同時(shí)，才有．12分
∴共有種情形，其值各不相同．
∴可能值必恰為，共個(gè)．
即所有可能值集合為．    13分
注：若有其它解法，請酌情給分】