Question

（本題滿分10分）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值。

Answer 1

（2）

：因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
M（0，1，.
（Ⅰ）證明：因

由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩
條相交直線，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.       3分
（Ⅱ）解：因
6分
（Ⅲ）解：在MC上取一點N（x，y，z），則存在使

要使                     8分
為所求二面角的平面角.

10分
點評：本題考查空間向量的運用，用空間向量研究線面垂直、求線面所成角、面面所成角，屬于中檔與較難題