Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，在、上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表格中：

（1）求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知定點(diǎn)，為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）設(shè)橢圓，根據(jù)題意可知點(diǎn)在橢圓上，可得出，進(jìn)一步得知點(diǎn)在橢圓上，可求得的值，可求出橢圓的方程，從而可得出拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求得切線的方程，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求得，求出點(diǎn)到直線的距離，然后利用三角形的面積公式可得出面積關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.

（1）設(shè)，由題意知點(diǎn)一定在橢圓上，則，得，

所以，橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，

則點(diǎn)也在橢圓上，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，，解得，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

設(shè)拋物線，依題意知點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線的方程，得，

所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)、，，

由知，故直線的方程為，即，

代入橢圓的方程整理得，

，

由韋達(dá)定理得，，

，

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，

，

當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)滿足．

綜上所述，面積的最大值為．