Question

【題目】已知函數，且曲線在處的切線斜率為1．

（1）求實數的值；

（2）證明：當時，；

（3）若數列滿足，且，證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）由即得的值；（2）只需證，利用導數證明在上單調遞增，所以成立，即得證；（3）分析得到只需證，再利用導數證明即可.

（1），，所以；

（2）要證，只需證，

，

因為，

所以，

所以在上單調遞增，

所以，

所以在上單調遞增，

所以成立，

所以當時，成立．

（3）由（2）知當時，.

因為，

所以，

設，

則，

所以；

要證：，只需證：，

因為，

所以，

因為，

所以，

所以，

故只需證：，

因為，故只需證：，

即證：，

只需證：當時，，

，

，

，

所以在區(qū)間上是增函數，

故，

所以在區(qū)間上是增函數，

故，

所以在區(qū)間上是增函數，

故，

所以原不等式成立．