Question

【題目】若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（ ）

A.在內(nèi)單調(diào)遞增；

B.和之間存在“隔離直線”，且的最小值為；

C.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；

D.和之間存在唯一的“隔離直線”.

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

令，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，得到正確；

設(shè)，的隔離直線為，根據(jù)隔離直線定義可得不等式組對(duì)任意恒成立；分別在和兩種情況下討論滿足的條件，進(jìn)而求得的范圍，得到正確，錯(cuò)誤；

根據(jù)隔離直線過(guò)和的公共點(diǎn)，可假設(shè)隔離直線為；分別討論、和時(shí)，是否滿足恒成立，從而確定，再令，利用導(dǎo)數(shù)可證得恒成立，由此可確定隔離直線，則正確.

對(duì)于，，

，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

，在內(nèi)單調(diào)遞增，

正確；

對(duì)于，設(shè)，的隔離直線為，

則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.

由對(duì)任意恒成立得：.

⑴若，則有符合題意；

⑵若則有對(duì)任意恒成立，

的對(duì)稱軸為，，；

又的對(duì)稱軸為，；

即，，；

同理可得：，；

綜上所述：，，正確，錯(cuò)誤；

對(duì)于，函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，

若存在和的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn).

設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，

則恒成立，

若，則不恒成立.

若，令，對(duì)稱軸為

在上單調(diào)遞增，

又，故時(shí)，不恒成立.

若，對(duì)稱軸為，

若恒成立，則，解得：.

此時(shí)直線方程為：，

下面證明，

令，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，取到極小值，也是最小值，即，

，即，

函數(shù)和存在唯一的隔離直線，正確.

故選：.